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die down
（噂や人気など）が下火になる
例）
His popularity died down.
彼の人気は下火になってしまった。
Old habits die hard.
昔からの癖はなかなか死なない→なかなか治らない。
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tail off
（インフレが）下火になる
例）
The inflation will tail off sooner or later.
このインフレも早かれ遅かれ下火になっていくでしょう。
go out of fashion
（流行が）下火になる
例）
That style went out of fashion.
そのスタイルは流行りが終わってしまった。
run its course
自然の道をたどる
→自然に収まる、廃れる
take its courseということもあります。
例）
The movement ran its course.
そのその運動も廃れてった。
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